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这是一篇关于高斯光束相关知识的整理

Laguerre-Guassian Beam

u(r,ϕ,z)=ClpLG1w(z)(r2w(z))∣l∣exp⁡(−r2w2(z))Lp∣l∣(2r2w2(z))×exp⁡(−ikr22R(z))exp⁡(−ilϕ)exp⁡(iψ(z)),u(r, \phi, z) = C_{lp}^{LG} \frac{1}{w(z)} \left(\frac{r\sqrt{2}}{w(z)}\right)^{|l|} \exp\left(-\frac{r^2}{w^2(z)}\right) L_p^{|l|}\left(\frac{2r^2}{w^2(z)}\right) \times \exp\left(-\frac{ik r^2}{2R(z)}\right)\exp(-il\phi) \exp(i\psi(z)),

其中 Lp∣l∣L_p^{|l|} 是广义拉盖尔多项式. ClpLGC_{lp}^{LG} 归一化是所需要的系数:

ClpLG=2p!π(p+∣l∣)!⇒∫02πdϕ∫0∞drr∣u(r,ϕ,z)∣2=1,C_{lp}^{LG} = \sqrt{\frac{2p!}{\pi(p + |l|)!}} \Rightarrow \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\infty} dr \, r |u(r, \phi, z)|^2 = 1,

matlab 代码可定义为：

LG-Beam 定义
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function outoam=LGB2(lambda,w0,x,y,z,l,p)
[phi,r]=cart2pol(x,y);
k=2*pi/lambda;
zr=0.5*k*w0.^2;
q=z+(sqrt(-1)*(-1)).*zr;
q0=-1i*zr;
w=pi.^(-1/2).*(lambda.*zr.^(-1).*(z.^2+zr.^2)).^(1/2);
out1=2.^((1/2)+(1/2).*abs(l)).*exp(1).^(sqrt(-1).*l.*phi+(sqrt(-1)*( ...
  1/2)).*k.*q.^(-1).*r.^2).*pi.^(-1/2).*(r.*w.^(-1)).^abs(l).*w.^( ...
  -1).*(q.^(-1).*q0.*conj(q).*conj(q0).^(-1)).^((1/2).*(1+ ...
  2.*p+abs(l))).*(factorial(p).*factorial(p+abs(l)).^(-1)).^(1/2);

La=Laguerre(p,abs(l),2.*pi.^2.*r.^2.*w0.^2.*(pi.^2.*w0.^4+lambda.^2.*z.^2).^(-1));%调用LG 多项式
outoam=out1.*La;
end

其中:

Laguerre 公式
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function y=Laguerre(p,l,x)
%%This file generates the Laguerre functions stired in the variable "y" The
%%inputs are: the indices "p","l" and the vector "x".
y=zeros(p+1,1);
if p==0
    y=1;
else
for m=0:p
    y(p+1-m)=((-1).^m.*(factorial(p+l)))./(factorial(p-m).*factorial(l+m).*factorial(m));
end
end
y=polyval(y,x);