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这篇文章整理了有关光子的一些内容，主要是我在学习 skyrmions 的仿真时发现关于光的很多信息并没有学到，包括光子的自旋，光的 stokes 矢量等。所以写这篇笔记作为我对于学习内容的记录。

发展历史
  • 18 世纪前，光被描述为粒子；
  • 19 世纪初，托马斯・杨和菲涅尔证明光的干涉和衍射；
  • 麦克斯韦 1865 年预测光是电磁波，赫兹 1888 年实验证实；麦克斯韦理论预测，光波的能量只取决于它的强度，不取决于频率；
  • 1860-1900 年间，研究人员对黑体辐射研究，得出普朗克假设，即任何吸收或发射 ν 频率电磁辐射的系统的能量都是能量量子 E=hνE = h\nu 的整数倍，能量量子化；爱因斯坦因光电效应得 1921 年诺贝尔奖；
  • 1905 年，爱因斯坦首次提出能量量子化是电磁辐射本身的一种特性；
  • 1909 年和 1916 年，爱因斯坦证明，如果普朗克黑体辐射定律被接受，则能量量子必须携带动量p=hλp=\frac{h}{\lambda}; 康普顿实验观察到，得 1927 年诺贝尔奖；
  • 尝试保留麦克斯韦连续电磁场光模型的 BCK 模型失败，但是激发了海森堡对矩阵力学的发展；

# 命名

quanta (单数 quamtum)，这个词在 1900 年之前被用来表示粒子或不同数量的量，包括电。1905 年，Einstein 发表了一篇论文，提出通过将电磁波建模为由空间局域的离散波包组成的电磁波，可以更好地解释许多与光有关的现象。他将这种波包称为光量子（light quantum, 德语：ein Lichtquant）

photon 来源于希腊语中的光，φῶς（音译 phôs）

在物理学中，光子通常用符号 γγ（希腊字母 gamma）表示。在化学和光学工程中，光子通常用 hνh\nu 表示，hνh\nu 是光子能量，其中 hh 是普朗克常数，希腊字母 ν\nu (nu) 是光子的频率。

# 物理性质

光子不带电荷，通常静止质量为 0。光子质量的实验上限约为10−1510^{-15} kg，寿命超10810^8 年。

真空中有两种可能的偏振态， 是电磁学得规范玻色子，因此其他的量子数 (如轻子数、重子数和味量子数) 为 0。此外，光子遵循玻色 - 爱因斯坦统计而不是费米 - 狄拉克统计，即它们不遵从泡利不相容原理，可以多个粒子占据相同量子态。

# 相对论能量和动量

在自由空间中以光速 (c) 运动，能量和动量通过公式 E=pcE=pc 联系， pp 为动量矢量 p\pmb{p} 的大小。 m=0m=0。相对论关系：

E2=p2c2+m2c4E^2=p^2c^2+m^2c^4

光子的能量取决于频率 ν\nu 或波长 λ\lambda:

E=ℏω=hν=hcλ\begin {array}{c} E=\hbar\omega=h\nu=\frac{hc}{\lambda} \end {array}

p=ℏk\pmb{p}=\hbar\pmb{k}

  • k\pmb{k} 是波矢
  • p≡∣p∣=ℏk=hνλ=hλp\equiv\lvert\pmb{p}\rvert=\hbar k=\frac{h\nu}{\lambda}=\frac{h}{\lambda} 波矢的大小
  • k≡∣k∣=2πλk\equiv\lvert\pmb{k}\rvert=\frac{2\pi}{\lambda} 是波数
  • ω≡2πν\omega\equiv 2\pi\nu 是角频率
  • ℏ≡h2π\hbar\equiv\frac{h}{2\pi} 是约化普朗克常数

# 极化和自旋角动量

偏振往往是对于一束光，亦即大量光子的混合态来说的。

Q: 一个光子既然有波长，那么有振幅吗？振幅是多大？和什么有关？

补充

光子的角动量有两个可能的值，ℏ\hbar 和 −ℏ-\hbar 。这两个可能的值对应于圆偏振的两种可能的纯态。光束中的光子集合可能具有这两个值的混合；线偏振光束的作用就好像它由两个可能的角动量的相等数量组成一样。

光的自旋角动量 (spin angular momentum of light, SAM) 是光的角动量分量，它与量子自旋和光子的偏振自由度之间的旋转相关联。（光束还表现出被描述为光的轨道角动量的特性）。

自旋是区分两种基本粒子的基本性质：费米子，具有半整数自旋；和玻色子，具有整数自旋。

光子是光的量子，长期以来一直被认为是自旋 - 1 规格的玻色子。光的偏振通常被认为是其 “固有” 自旋自由度。然而，在自由空间中，只允许两个横向极化。因此，光子自旋总是只连接到两个圆偏振。为了构造光的全量子自旋算子，必须引入纵向偏振光子模式。

左右圆极化及其相关的角动量

电磁波传播时电场 (和磁场) 沿传播轴旋转，称为圆偏振。此时该光束中每个光子都携带一个自旋角动量 (SAM)，大小为 ±ℏ\pm\hbar 。

光的自旋角动量的一般表达式为：

S=1c∫d3xπ×A,\mathbf{S} = \frac{1}{c} \int d^3x \, \mathbf{\pi} \times \mathbf{A},

其中，cc 是真空中的光速，π\mathbf{\pi} 是矢量势 A\mathbf{A} 的共轭正则动量。

光的轨道角动量的一般表达式为：

L=1c∫d3xπμx×∇Aμ,\mathbf{L} = \frac{1}{c} \int d^3x \, \pi^\mu x \times \nabla A_\mu,

其中，μ={0,1,2,3}\mu = \{0, 1, 2, 3\} 表示时空的四个指标，并且应用了爱因斯坦求和约定。

为了量子化光，需要假设基本的等时对易关系：

[Aμ(x,t),πν(x′,t)]=iℏcgμνδ3(x−x′),[A^\mu(x, t), \pi^\nu(x', t)] = i \hbar c g^{\mu\nu} \delta^3(x - x'),

[Aμ(x,t),Aν(x′,t)]=[πμ(x,t),πν(x′,t)]=0,[A^\mu(x, t), A^\nu(x', t)] = [\pi^\mu(x, t), \pi^\nu(x', t)] = 0,

其中，ℏ\hbar 是约化普朗克常数，gμν=diag{1,−1,−1,−1}g^{\mu\nu} = \text{diag}\{1, -1, -1, -1\} 是闵可夫斯基空间的度规张量。

然后，可以验证 S\mathbf{S} 和 L\mathbf{L} 满足规范的角动量对易关系：

[Si,Sj]=iℏϵijkSk,[S_i, S_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} S_k,

[Li,Lj]=iℏϵijkLk,[L_i, L_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} L_k,

并且彼此对易：

[Si,Lj]=0.[S_i, L_j] = 0.

在平面波展开之后，光子自旋可以在波矢空间中以简单直观的形式重新表示为：

S=ℏ∫d3kϕk†sϕ^k,\mathbf{S} = \hbar \int d^3k \, \phi_k^\dagger \mathbf{s} \hat{\phi}_k,

其中，列向量 ϕ^k=[a^k,1,a^k,2,a^k,3]T\hat{\phi}_k = [\hat{a}_{k,1}, \hat{a}_{k,2}, \hat{a}_{k,3}]^T 是波矢空间中光子的场算符，3×33 \times 3 矩阵 s\mathbf{s} 为：

s=∑λ=13sλ(k,λ)\mathbf{s} = \sum_{\lambda=1}^3 \mathbf{s}_\lambda (\mathbf{k}, \lambda)

s\mathbf{s} 是与 SO(3)SO(3) 旋转生成元相关的自旋 - 1 算符。

s^1=[00000−i0i0],s^2=[00i000−i00],s^3=[0−i0i00000]\hat{s}_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{bmatrix}, \quad \hat{s}_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \hat{s}_3 = \begin{bmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

两个单位向量 ϵ(k,1)⋅k=ϵ(k,2)⋅k=0\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, 1) \cdot \mathbf{k} = \boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, 2) \cdot \mathbf{k} = 0 表示自由空间中光的两个横向极化，单位向量 ϵ(k,3)=k/∣k∣\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{k}, 3) = \mathbf{k}/|\mathbf{k}| 表示纵向极化。

由于涉及到纵向极化光子和标量光子，S\mathbf{S} 和 L\mathbf{L} 不是规范不变的。为了将规范不变性纳入光子角动量中，需要重新分解总 QED 角动量并执行洛伦兹规范条件。最后，光的自旋和轨道角动量的直接可观测部分如下所示：

Sobs=iℏ∫d3k(a^k,2†a^k,1−a^k,1†a^k,2)k∣k∣=ϵ0∫d3xE⊥×A⊥,\mathbf{S}^{\text{obs}} = i \hbar \int d^3k (\hat{a}_{k,2}^\dagger \hat{a}_{k,1} - \hat{a}_{k,1}^\dagger \hat{a}_{k,2}) \frac{\mathbf{k}}{|\mathbf{k}|} = \epsilon_0 \int d^3x \mathbf{E}_\perp \times \mathbf{A}_\perp,

LMobs=ϵ0∫d3xE⊥jx×∇A⊥j\mathbf{L}_M^{\text{obs}} = \epsilon_0 \int d^3x E_\perp^j x \times \nabla A_\perp^j

这恢复了经典横向光的角动量。这里，E⊥(A⊥)\mathbf{E}_\perp (\mathbf{A}_\perp) 是电场（矢量势）的横向部分，ϵ0\epsilon_0 是真空介电常数，我们使用的是国际单位制。

我们可以定义圆极化横向光子的湮灭算符：

a^k,L=12(a^k,1−ia^k,2),\hat{a}_{k,L} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\hat{a}_{k,1} - i \hat{a}_{k,2}),

a^k,R=12(a^k,1+ia^k,2),\hat{a}_{k,R} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\hat{a}_{k,1} + i \hat{a}_{k,2}),

带有极化单位向量

e(k,L)=12[e(k,1)+ie(k,2)],\mathbf{e}(\mathbf{k}, L) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \mathbf{e}(\mathbf{k}, 1) + i \mathbf{e}(\mathbf{k}, 2) \right],

e(k,R)=12[e(k,1)−ie(k,2)].\mathbf{e}(\mathbf{k}, R) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \mathbf{e}(\mathbf{k}, 1) - i \mathbf{e}(\mathbf{k}, 2) \right].

然后，横场光子的自旋可以重新表示为：

Sobs=∫d3kℏ(a^k,L†a^k,L−a^k,R†a^k,R)k∣k∣,\mathbf{S}^{\text{obs}} = \int d^3k \hbar \left( \hat{a}_{k,L}^\dagger \hat{a}_{k,L} - \hat{a}_{k,R}^\dagger \hat{a}_{k,R} \right) \frac{\mathbf{k}}{|\mathbf{k}|},

对于单个平面波光子，自旋只有两个值 ±ℏ\pm \hbar，它们是自旋算符 s^3\hat{s}_3 的特征值。描述具有确定自旋角动量值的光子的相应特征函数表示为圆极化波：

∣±⟩=(1±i0).|\pm \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ \pm i \\ 0 \end{pmatrix}.

# 参考资料

[1] Photon: Physical properties. Wikipedia, The Free Encyclopedia [EB/OL]. [2024-08-07]. https://en.wikipedia.org/wiki/Photon#Physical_properties.

[2] Spin angular momentum of light. Wikipedia, The Free Encyclopedia [EB/OL]. [2024-08-07]. https://en.wikipedia.org/wiki/Spin_angular_momentum_of_light.

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