Electrodynamics2

# 电荷和电场

# 库仑定律

库仑定律描述两个静止点电荷之间的相互作用力：

$$\boldsymbol{F} = \frac{QQ'}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} \boldsymbol{r}$$

其中，$ \boldsymbol {r} = \boldsymbol {x} - \boldsymbol {x}' $ 表示从电荷 $Q$ 到电荷 $Q'$ 的位矢。

# 电场和电场强度

$$\boldsymbol{E} = \frac{\boldsymbol{F}}{q} \tag{1.2}$$

一个静止电荷 $Q$ 所激发的电场强度为：

$$\boldsymbol{E} = \frac{Q\boldsymbol{r}}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}$$

多个电荷所激发的电场等于每个电荷所激发的电场的矢量和。电荷不连续分布时，总电场强度是：

$$\boldsymbol{E} = \sum_i \frac{Q_i \boldsymbol{r}_i}{4 \pi \varepsilon_0 r_i^3}$$

电荷连续分布时，在区域 $V$ 内某点 $\boldsymbol{x}'$ 上一个体积元 $dV'$ 内所含的电荷为：

$$dQ = \rho(\boldsymbol{x}') dV'$$

在 $P$ 点的电场强度为：

$$\boldsymbol{E} = \int \frac{\rho(\boldsymbol{x}') \boldsymbol{r}}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} dV'$$

# 高斯定理和电场的散度

# 高斯定理

设 $S$ 表示包围着点电荷 $Q$ 的一个闭合面，$dS$ 为 $S$ 上的定向面元，以外法线方向为正，通过闭合曲面 $S$ 的电场强度 $\boldsymbol{E}$ 的通量定义为：

$$\oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S}$$

由库仑定律可以推导出关于电场强度的高斯定理：

$$\oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \oint_S \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^3} \boldsymbol{r} \cdot d\boldsymbol{S}$$

因为 $\cos \theta dS$ 是面元投影到以$r$ 为半径的球面上的面积， $\cos \theta dS / r^2$ 是面元 $dS$ 对电荷 $Q$ 所张开的立体角 $d\Omega$ ，因此

$$\oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \oint_S \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} Q d\Omega= \frac{Q}{\epsilon_0}$$

高斯定理：

如果点电荷$Q$ 在$S$ 面外，则：

$$\oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = 0 \quad \text{且} \quad E = 0$$

一般情况下，设空间有多个点电荷，则只有曲面内的电荷对电场通过曲面的通量有贡献：

$$\oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{1}{\epsilon_0} \sum_i Q_i \quad (Q_i \text{在} S \text{内})$$

当区域内电荷连续分布时：

$$\oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \frac{1}{\epsilon_0} \int_V \rho dV$$

这是高斯定理的积分形式。

# 电场的散度

将高斯公式：

$$\oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S} = \int_V \nabla \cdot \boldsymbol{E} dV$$

代入上式得：

$$\int_V \nabla \cdot \boldsymbol{E} dV = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_V \rho dV$$

当积分区域无限缩小时，直至只包围一点时，上式等价于：

$$\nabla \cdot \boldsymbol{E} dV = \frac{1}{\varepsilon_0} \rho dV$$

所以：

$$\nabla \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}) = \frac{\rho(\boldsymbol{x})}{\varepsilon_0} \tag{1.8}$$

—— 这是高斯定理的微分形式

上式指出：电荷是电场的源，电场线从正电荷发出而终止于负电荷；在没有电荷的地方，电场线是连续的。