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# 矢量代数

# 矢量的加减

设向量：

a=a1i+a2j+a3k\mathbf{a} = a_1 \mathbf{i} + a_2 \mathbf{j} + a_3 \mathbf{k}

b=b1i+b2j+b3k\mathbf{b} = b_1 \mathbf{i} + b_2 \mathbf{j} + b_3 \mathbf{k}

则向量相加或相减为：

a±b=(a1±b1)i+(a2±b2)j+(a3±b3)k\mathbf{a} \pm \mathbf{b} = (a_1 \pm b_1) \mathbf{i} + (a_2 \pm b_2) \mathbf{j} + (a_3 \pm b_3) \mathbf{k}

# 矢量的乘法

# 点乘

向量点积的定义：

a⋅b=abcos⁡θ\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = ab \cos \theta

设：

a=a1e^x+a2e^y+a3e^z\mathbf{a} = a_1 \hat{e}_x + a_2 \hat{e}_y + a_3 \hat{e}_z

b=b1e^x+b2e^y+b3e^z\mathbf{b} = b_1 \hat{e}_x + b_2 \hat{e}_y + b_3 \hat{e}_z

则：

a⋅b=(a1e^x+a2e^y+a3e^z)⋅(b1e^x+b2e^y+b3e^z)=a1b1+a2b2+a3b3\begin{aligned} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= (a_1 \hat{e}_x + a_2 \hat{e}_y + a_3 \hat{e}_z) \cdot (b_1 \hat{e}_x + b_2 \hat{e}_y + b_3 \hat{e}_z)\\ &= a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \end{aligned}

# 叉乘

向量叉积的定义：

a×b=absin⁡θ\mathbf{a} \times \mathbf{b} = ab \sin \theta

设：

a=a1e^x+a2e^y+a3e^z\mathbf{a} = a_1 \hat{e}_x + a_2 \hat{e}_y + a_3 \hat{e}_z

b=b1e^x+b2e^y+b3e^z\mathbf{b} = b_1 \hat{e}_x + b_2 \hat{e}_y + b_3 \hat{e}_z

则：

a×b=(a1e^x+a2e^y+a3e^z)×(b1e^x+b2e^y+b3e^z)\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_1 \hat{e}_x + a_2 \hat{e}_y + a_3 \hat{e}_z) \times (b_1 \hat{e}_x + b_2 \hat{e}_y + b_3 \hat{e}_z)

可以写成行列式形式：

a×b=∣e^xe^ye^za1a2a3b1b2b3∣\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \hat{e}_x & \hat{e}_y & \hat{e}_z \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

由此可以得出：

a×b=−b×a\mathbf{a} \times \mathbf{b} = - \mathbf{b} \times \mathbf{a}

# 三矢量的乘积

# 混合积c⋅(a×b)\mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})

向量三重积的定义：

c⋅(a×b)=∣c∣∣a×b∣cos⁡θ\mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = |\mathbf{c}| |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| \cos \theta

设：

a=a1e^x+a2e^y+a3e^z\mathbf{a} = a_1 \hat{e}_x + a_2 \hat{e}_y + a_3 \hat{e}_z

b=b1e^x+b2e^y+b3e^z\mathbf{b} = b_1 \hat{e}_x + b_2 \hat{e}_y + b_3 \hat{e}_z

c=c1e^x+c2e^y+c3e^z\mathbf{c} = c_1 \hat{e}_x + c_2 \hat{e}_y + c_3 \hat{e}_z

则：

c⋅(a×b)=∣c1c2c3a1a2a3b1b2b3∣\mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \begin{vmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

利用行列式的性质，可以证明以下结论：

a⋅(b×c)=b⋅(c×a)=c⋅(a×b)\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) = \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})

−a⋅(c×b)=−b⋅(a×c)=−c⋅(b×a)-\mathbf{a} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{b}) = -\mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{c}) = -\mathbf{c} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{a})

# 矢积

向量的双重叉积：

c×(a×b)\mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b})

向量 a×b\mathbf{a} \times \mathbf{b} 与 a\mathbf{a} 和 b\mathbf{b} 都垂直，而 c×(a×b)\mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) 与 a×b\mathbf{a} \times \mathbf{b} 垂直。

根据矢量的分量表示可以直接计算出线性组合的系数，结果为：

c×(a×b)=(c⋅b)a−(c⋅a)b\mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{a} - (\mathbf{c} \cdot \mathbf{a}) \mathbf{b}

且

(a×b)×c=−c×(a×b)=(c⋅a)b−(b⋅c)a\begin{aligned} (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = -\mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b})= (\mathbf{c} \cdot \mathbf{a}) \mathbf{b} - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{a} \end{aligned}

# 散度、旋度和梯度

# 矢量场的散度：

设闭合面 SS 所包围的体积为 ΔV\Delta V，则当 ΔV→0\Delta V\to 0 时，极限

divf=lim⁡ΔV→0∮Sf⋅dSΔV\text{div} \, \boldsymbol{f} = \lim_{\Delta V \to 0} \frac{\oint_S \boldsymbol{f} \cdot d\mathbf{S}}{\Delta V}

称为矢量场 f\boldsymbol{f} 在该点的散度。

# 矢量场的旋度：

设闭合曲线 LL 所围面积为 ΔS\Delta S，当 ΔS→0\Delta S \to 0 时，矢量场 f\boldsymbol{f} 沿有向闭合曲线 LL 的环量与 ΔS\Delta S 比值的极限称为 f\boldsymbol{f} 的旋度沿此曲面法向的分量：

(rotf)n=lim⁡ΔS→0∮Lf⋅dlΔS(\text{rot} \, \boldsymbol{f})_n = \lim_{\Delta S \to 0} \frac{\oint_L \boldsymbol{f} \cdot d\mathbf{l}}{\Delta S}

下角标 nn 是沿 ΔS\Delta S 法向 n\mathbf{n} 的分量的意思，上式也可以表示成：

∮f⋅dl=∮(rotf)⋅ds\oint \boldsymbol{f} \cdot d\mathbf{l} = \oint (\text{rot} \, \boldsymbol{f}) \cdot d\mathbf{s}

# 标量场的梯度：

设标量场 φ(x,y,z)\varphi(x, y, z) 沿线元 dldl 的改变量为 dφd\varphi，则沿此线元的方向标量场的导数为 dφdl\frac{d\varphi}{dl}。

设在某一方向，标量场的空间变化率有最大值，则这个最大值称为标量场的梯度，记为 gradφ\text{grad} \, \varphi。

容易证明:

dφdl=gradφ⋅cos⁡θ\frac{d\varphi}{dl} = \text{grad} \, \varphi \cdot \cos \theta

注意：梯度是一个矢量，其大小为最大的空间变化率，方向指向标量场数值增加最快的方向。

# 积分变换式

# (a) 高斯定理（Gauss's Theorem）：

∮Sf⋅dS=∫VdivfdV\oint_S \boldsymbol{f} \cdot d\mathbf{S} = \int_V \text{div} \, \boldsymbol{f} \, dV

它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。

# (b) 斯托克斯定理（Stoke's Theorem）：

∮Lf⋅dl=∫S(rotf)⋅dS\oint_L \boldsymbol{f} \cdot d\mathbf{l} = \int_S (\text{rot} \, \boldsymbol{f}) \cdot d\mathbf{S}

它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。

# 在直角坐标系中散度、旋度和梯度的表示式：

divf=∂fx∂x+∂fy∂y+∂fz∂z\text{div} \, \boldsymbol{f} = \frac{\partial f_x}{\partial x} + \frac{\partial f_y}{\partial y} + \frac{\partial f_z}{\partial z}

rotf=(∂fz∂y−∂fy∂z)e^x+(∂fx∂z−∂fz∂x)e^y+(∂fy∂x−∂fx∂y)e^z\begin{aligned} \text{rot} \, \boldsymbol{f} = \left( \frac{\partial f_z}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial z} \right) \hat{e}_x + \left( \frac{\partial f_x}{\partial z} - \frac{\partial f_z}{\partial x} \right) \hat{e}_y + \left( \frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y} \right) \hat{e}_z \end{aligned}

rotf=∣e^xe^ye^z∂∂x∂∂y∂∂zfxfyfz∣\text{rot} \, \boldsymbol{f} = \begin{vmatrix} \hat{e}_x & \hat{e}_y & \hat{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ f_x & f_y & f_z \end{vmatrix}

gradφ=e^x∂φ∂x+e^y∂φ∂y+e^z∂φ∂z\text{grad} \, \varphi = \hat{e}_x \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \hat{e}_y \frac{\partial \varphi}{\partial y} + \hat{e}_z \frac{\partial \varphi}{\partial z}

# ∇算符：

∇算符是一个矢量微分算符，在直角坐标系中：

∇=e^x∂∂x+e^y∂∂y+e^z∂∂z\nabla = \hat{e}_x \frac{\partial}{\partial x} + \hat{e}_y \frac{\partial}{\partial y} + \hat{e}_z \frac{\partial}{\partial z}

所以，有：

∇φ=(e^x∂∂x+e^y∂∂y+e^z∂∂z)φ\nabla \varphi = \left( \hat{e}_x \frac{\partial}{\partial x} + \hat{e}_y \frac{\partial}{\partial y} + \hat{e}_z \frac{\partial}{\partial z} \right) \varphi

展开为：

∇φ=e^x∂φ∂x+e^y∂φ∂y+e^z∂φ∂z=gradφ\nabla \varphi = \hat{e}_x \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \hat{e}_y \frac{\partial \varphi}{\partial y} + \hat{e}_z \frac{\partial \varphi}{\partial z} = \text{grad} \, \varphi

同样：

∇⋅f=divf\nabla \cdot \boldsymbol{f} = \text{div} \, \boldsymbol{f}

∇×f=rotf\nabla \times \boldsymbol{f} = \text{rot} \, \boldsymbol{f}

# 关于散度和旋度的一些定理

# 标量场的梯度必为无旋场

∇×∇φ≡0\nabla \times \nabla \varphi \equiv 0

梯度的旋度等于 0。

证明：

令 f=∇φ\boldsymbol{f} = \nabla \varphi，则：

(∇×∇φ)x=(∇×f)x(\nabla \times \nabla \varphi)_x = (\nabla \times \boldsymbol{f})_x

展开为：

(∇×f)x=∂fz∂y−∂fy∂z=∂∂y(∂φ∂z)−∂∂z(∂φ∂y)=0(\nabla \times \boldsymbol{f})_x = \frac{\partial f_z}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial \varphi}{\partial z} \right) - \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial \varphi}{\partial y} \right) = 0

同理可证其他分量为 0。

因此，∇×∇φ=0\nabla \times \nabla \varphi = 0，即梯度场无旋。

# 矢量场的旋度必为无散场：

∇⋅(∇×f)≡0\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{f}) \equiv 0

旋度的散度恒等于 0。

证明：

∇⋅(∇×f)=∂∂x(∂fz∂y−∂fy∂z)+∂∂y(∂fx∂z−∂fz∂x)+∂∂z(∂fy∂x−∂fx∂y)\begin{aligned} \nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{f}) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f_z}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial z} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f_x}{\partial z} - \frac{\partial f_z}{\partial x} \right)+ \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y} \right) \end{aligned}

由于混合二阶偏导数相等，根据克莱罗定理（Schwarz 定理），以上各项都为 0，故：

∇⋅(∇×f)=0\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{f}) = 0

# 无旋场必可表示为标量场的梯度：

如果

∇×f=0\nabla \times \boldsymbol{f} = 0

则

f=∇φ\boldsymbol{f} = \nabla \varphi

# 无散场必可表示为一个矢量场的旋度：

如果

∇⋅f=0\nabla \cdot \boldsymbol{f} = 0

则

f=∇×A\boldsymbol{f} = \nabla \times \mathbf{A}

# ∇算符运算公式：

∇(φψ)=ψ∇φ+φ∇ψ\nabla (\varphi \psi) = \psi \nabla \varphi + \varphi \nabla \psi

∇⋅(φf)=(∇φ)⋅f+φ∇⋅f\nabla \cdot (\varphi \boldsymbol{f}) = (\nabla \varphi) \cdot \boldsymbol{f} + \varphi \nabla \cdot \boldsymbol{f}

∇×(φf)=(∇φ)×f+φ∇×f\nabla \times (\varphi \boldsymbol{f}) = (\nabla \varphi) \times \boldsymbol{f} + \varphi \nabla \times \boldsymbol{f}

∇⋅(f×g)=(∇×f)⋅g−f⋅(∇×g)\nabla \cdot (\boldsymbol{f} \times \boldsymbol{g}) = (\nabla \times \boldsymbol{f}) \cdot \boldsymbol{g} - \boldsymbol{f} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{g})

∇×(f×g)=(g⋅∇)f+(∇⋅g)f−(f⋅∇)g−(∇⋅f)g\nabla \times (\boldsymbol{f} \times \boldsymbol{g}) = (\boldsymbol{g} \cdot \nabla) \boldsymbol{f} + (\nabla \cdot \boldsymbol{g}) \boldsymbol{f} - (\boldsymbol{f} \cdot \nabla) \boldsymbol{g} - (\nabla \cdot \boldsymbol{f}) \boldsymbol{g}

∇(f⋅g)=f×(∇×g)+(f⋅∇)g+g×(∇×f)+(g⋅∇)f\nabla (\boldsymbol{f} \cdot \boldsymbol{g}) = \boldsymbol{f} \times (\nabla \times \boldsymbol{g}) + (\boldsymbol{f} \cdot \nabla) \boldsymbol{g} + \boldsymbol{g} \times (\nabla \times \boldsymbol{f}) + (\boldsymbol{g} \cdot \nabla) \boldsymbol{f}

∇⋅∇φ≡∇2φ\nabla \cdot \nabla \varphi \equiv \nabla^2 \varphi

∇×(∇×f)=∇(∇⋅f)−∇2f\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{f}) = \nabla (\nabla \cdot \boldsymbol{f}) - \nabla^2 \boldsymbol{f}

注意，∇\nabla 算符：

  1. 在方向关系上是一个矢量；
  2. 在运算过程中是一个微分算符。

所以它与普通矢量不同，其位置不能任意改变。

# 并矢和张量

# 并矢

定义：两个矢量 A\mathbf{A} 和 B\mathbf{B} 不作任何标积或矢积运算而并列在一起，会形成一个新的数学量，称为 并矢 或 张量（二阶张量）。

矢量：

A=A1e^x+A2e^y+A3e^z\mathbf{A} = A_1 \hat{e}_x + A_2 \hat{e}_y + A_3 \hat{e}_z

B=B1e^x+B2e^y+B3e^z\mathbf{B} = B_1 \hat{e}_x + B_2 \hat{e}_y + B_3 \hat{e}_z

并矢：

AB=(A1e^x+A2e^y+A3e^z)(B1e^x+B2e^y+B3e^z)=A1B1e^xe^x+A1B2e^xe^y+A1B3e^xe^z+A2B1e^ye^x+A2B2e^ye^y+A2B3e^ye^z+A3B1e^ze^x+A3B2e^ze^y+A3B3e^ze^z\begin{aligned} \mathbf{A} \mathbf{B} =& (A_1 \hat{e}_x + A_2 \hat{e}_y + A_3 \hat{e}_z)(B_1 \hat{e}_x + B_2 \hat{e}_y + B_3 \hat{e}_z)\\ =& A_1 B_1 \hat{e}_x \hat{e}_x + A_1 B_2 \hat{e}_x \hat{e}_y + A_1 B_3 \hat{e}_x \hat{e}_z \\&+ A_2 B_1 \hat{e}_y \hat{e}_x + A_2 B_2 \hat{e}_y \hat{e}_y + A_2 B_3 \hat{e}_y \hat{e}_z \\&+ A_3 B_1 \hat{e}_z \hat{e}_x + A_3 B_2 \hat{e}_z \hat{e}_y + A_3 B_3 \hat{e}_z \hat{e}_z \end{aligned}

AiBjA_i B_j 称为张量的分量，e^ie^j\hat{e}_i \hat{e}_j 称为张量的基矢，并且 e^ie^j≠e^je^i\hat{e}_i \hat{e}_j \neq \hat{e}_j \hat{e}_i。

一般一个二阶张量可以写成：

T↔=∑ijTije^ie^j\overset{\leftrightarrow}{T} = \sum_{ij} T_{ij} \hat{e}_i \hat{e}_j

单位张量：

T↔=e^xe^x+e^ye^y+e^ze^z\overset{\leftrightarrow}{T} = \hat{e}_x \hat{e}_x + \hat{e}_y \hat{e}_y + \hat{e}_z \hat{e}_z

# 张量的代数运算

# 点乘

AB⋅C=A(B⋅C)\mathbf{A}\mathbf{B} \cdot \mathbf{C} = \mathbf{A} (\mathbf{B} \cdot \mathbf{C})

C⋅AB=(C⋅A)B\mathbf{C} \cdot \mathbf{A}\mathbf{B} = (\mathbf{C} \cdot \mathbf{A}) \mathbf{B}

一般情况下：

AB⋅C≠C⋅AB\mathbf{A}\mathbf{B} \cdot \mathbf{C} \neq \mathbf{C} \cdot \mathbf{A}\mathbf{B}

# 双点乘

(AB):(CD)=(B⋅C)(A⋅D)(\mathbf{A}\mathbf{B}) : (\mathbf{C}\mathbf{D}) = (\mathbf{B} \cdot \mathbf{C})(\mathbf{A} \cdot \mathbf{D})

张量与矢量的点乘：

T↔⋅f=∑ijTije^ie^j⋅∑kfke^k=∑ijkTijfke^ie^j⋅e^k=∑ijkTijfke^iδjk=∑ijTijfje^i\begin{aligned} \overset{\leftrightarrow}{T} \cdot \boldsymbol{f} =& \sum_{ij} T_{ij} \hat{e}_i \hat{e}_j \cdot \sum_k f_k \hat{e}_k\\ =& \sum_{ijk} T_{ij} f_k \hat{e}_i \hat{e}_j \cdot \hat{e}_k\\ =& \sum_{ijk} T_{ij} f_k \hat{e}_i \delta_{jk}\\ =& \sum_{ij} T_{ij} f_j \hat{e}_i \end{aligned}

矢量与张量的点乘：

f⋅T↔=∑ijfiTije^j\boldsymbol{f} \cdot \overset{\leftrightarrow}{T} = \sum_{ij} f_i T_{ij} \hat{e}_j

# 张量分析：

涉及到 ∇\nabla 算符时，需注意到 ∇\nabla 算符的矢量性和微分性：

∇⋅(fg)=(∇⋅f)g+(f⋅∇)g\nabla \cdot (\boldsymbol{f} \boldsymbol{g}) = (\nabla \cdot \boldsymbol{f}) \boldsymbol{g} + (\boldsymbol{f} \cdot \nabla) \boldsymbol{g}

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